"教えたい" 人のための「数学講座」

「数学を教えられるようになりたい、楽しさを伝えたい」そう思うあなたのために、教え方や勉強法・やる気の出し方など、ノウハウのすべてを紹介!20年教壇に立ってきた視点、および社会で生きた数字を扱うからこそ視点から、生涯学習にも役立つ話題が満載です。教え方の研究、勉強法の修得、中高生の自主学習用にご活用ください!

MENU

中1 平面図形 作図魔術師への道(~外心・内心 3友情の証)

 ↓ あとでじっくり読むときに便利

中1での平面図形の中でも、
メインの1つとなる「作図」

 

作図自体はそれほど問題ない
という人も多いかもしれませんが、

 

少しでも分かりやすく、
さらに、+αとして、
その作図ですることになる仕組みや、
発展的な内容も一緒に押さえておくと、

 

中2で学習する「合同」や、
高校へつながる「五心」の基礎ともなります。

 

今回は、外心・内心にまで触れ、
作図をするメリットと、その応用例まで触れてみたいと思います。

 

流れとして、
 作図の基本
⇒作図ができる理由(仕組み)
⇒外心・内心

 

と、それぞれのレベルに応じて、
知識を身に着けるよう心がけてみましょう。

 

私が学校で実際に授業をした際にも、
上のように、レベル分けをして、
自分が身に着けれられる範囲をどんどん身に着けていこうと、
話をして授業をしていました。

 

…もちろん、生徒は知的好奇心旺盛ですので、
話は最後までちゃんと聞いてくれたのが嬉しいことです。

 

それでは、始めていきましょう。

 

垂線の引き方

 

作図の仕方

 

点Pから直線lに垂直な線(垂線)をひきなさい。

f:id:math-kame:20191113052345j:plain


教科書などでは2種類紹介されています。

(その1)

f:id:math-kame:20191113052355j:plain


① 直線上に1点を取り、点Pを通るように円をかく
② 直線上にもう1点を取り、点Pを通るように円をかく
③ 円の交点どうしを結ぶ

はい、亀きち流にリズムよくいきます
① 点Aを取ってくるん
② 点Bを取ってくるん
③ 2点を結んでさくっ

(知っている人は
ピタゴラスイッチの『こんなことできません』
をイメージしてみてください(笑) )


(その2)

f:id:math-kame:20191113052408j:plain
① 点Pを中心として直線に交わる円をかき、交点をA,Bとする
② A,Bを中心として等しい半径の円をかき、その交点の一つをCとする
③ 直線PCを引く

これも、リズムよく
① 点Pを中心にくるり
② 点Aからくるっ 点Bからくるっ
③ PCを結んでさくっ

 

 

その作図となる理由

 


(その1)

f:id:math-kame:20191113052417j:plain

・三角形ABPと三角形ABQは線対称
・「線対称な図形において、対応する点を結ぶ線分は、対称軸によって垂直に二等分される」という性質を使っているため

 

 


(その2)

f:id:math-kame:20191113052431j:plain

・三角形APCと三角形BPCは線対称
・あとは同じ

 

 

垂直二等分線の引き方

 

 

線分ABの垂直二等分線の引き方です。
名前は難しそうに聞こえますが、
線分があって、それを「垂直二等分、真っ二つ切り」妖怪ウォッチ「ブシニャン風」)という、
なかなか爽快な作図です。

しかも、超簡単。

 

作図の仕方

 

 

線分ABの垂直二等分線を作図しなさい

 

 

f:id:math-kame:20191113052445j:plain

 

 

f:id:math-kame:20191113052459j:plain

① 点A,Bを中心として等しい半径の円をかき、その交点をC,Dとする
② 直線CDをひく。


はい、リズムよく!
① 点Aからくるりん 点Bからくるり
② 交点どうしをさくっ

 

 

その作図となる理由

 

f:id:math-kame:20191113052514j:plain

四角形ABCDはひし形なので、
「対角線どうしはそれぞれ垂直に二等分される」

ひし形の図形の利用ですね。

 

この図形から、
中2で行う二等辺三角形の性質にも結び付けることができます。

 

もう一歩踏み込みます

f:id:math-kame:20191113052525j:plain

「垂直二等分線は、点A,Bから距離の等しい点の集合」
という説明も加えたいところです。

 

 

 

角の二等分線の引き方

 

続いて、角の二等分線です。
どんな角でも、二等分する線が引けてしまうという魔法のような話。
本当に簡単にできてしまうんです。

 

作図の仕方

 

 

次の∠AOBの二等分線を作図しなさい

f:id:math-kame:20191113052225j:plain

 

f:id:math-kame:20191113052250j:plain

① 角の頂点Oを中心とする円をかき、角の2辺との交点をC,Dとする。
② C,Dを中心として等しい半径の円をかき、その交点をEとする。
③ 半直線OEをひく。

こちらもリズムよく!
① 角の頂点からくるん
② 交点からくるっ もう一方の交点からくるっ
③ Oと交点をさくっ

 

その作図となる理由

 

f:id:math-kame:20191113052313j:plain

三角形OCEと三角形ODEは線対称
線対称なので折り曲げたことを考えると、OEは∠AOBを二等分する


ここも一歩踏み込みます

f:id:math-kame:20191113052325j:plain

「角の二等分線は、直線OAと直線OBから等しい点の集合」
をきちんと触れたいところです。

角の二等分線は対称軸なので、
対称軸の点から直線OA、直線OBまでの距離は等しいことになります。

 


余談ですが、
「角の三等分線」は作図ではかけない
ということが「古代ギリシャの難問」として取り上げられています。
興味のある人、知識を伝えたい人はぜひ取り上げてみてください。

 

 

 

発展的内容 ここで学習すれば身につきやすい

外心(外接円の中心)

 

外心の求め方
三角形ABCをかいて、その2つの線分の垂直二等分をひく
(すべての線分の垂直二等分線を引いてもいいが、必ず1点で交わる)

f:id:math-kame:20191113052210j:plain

垂直二等分線の交点 ⇒ 三角形の頂点ABCすべてからの距離が等しい点
(「垂直二等分線は、点A,Bから距離の等しい点の集合」を使ってます)

 

これを例えるなら、
亀きち、うさ吉、もぐ吉の3人のおうちがあります。

「どこで待ち合わせしようか」
「3人のおうちから一緒の距離のところがいい」
じゃ、そこにしよう。
⇒ 3人のおうちを線で結ぶと三角形になるから、
 3つの頂点から等しい距離にある点が求める点(外心)だね。

当然、坂道は?ほかのおうちはないの?
というツッコミは受けます(笑)

 

内心(内接円の中心)

内心の求め方
三角形ABCをかいて、その2つの角の二等分線をひく
(すべての角の二等分線を引いてもいいが、必ず1点で交わる)

 

f:id:math-kame:20191113052536j:plain

角の二等分線の交点 ⇒ 3線分AB,BC,CAからの距離が等しい点
(「角の二等分線は、直線OAと直線OBから等しい点の集合」を使ってます)

 

これを例えるなら、
亀きち、うさ吉、もぐ吉の3人が、
それぞれから的当てをしようと話し合っています。

「3人それぞれの線からボールを投げて、的当てをしようよ」
「みんなが公平になるところに的を置こうよ」
「そうだね、それだとみんな公平に遊べるもんね」
じゃ、そこにしよう
⇒ 3人の線を伸ばすと三角形ができるので、
 3辺から等しい距離人ある点が求める点(内心)だね。

 

外心、内心は仲良し3人組の友情の例えとして話をします。
そうすると、ちょっと身近になり結びつきやすいかなと考えています。

生徒の心の中にも負担が軽く入っていくのではないかと思います。
図形分野は例えをつくりやすいので、
その場に応じた分かりやすい例えを作っていきたいですね。

 

 

まとめ 作図魔術師+αの力を

 

3種類の作図はいかがでしたか?

 

作図自体はそれほど難しくないと思いますが、
その成り立ちやそ、こから発展していく形を、
まずはイメージだけでいいので持っておきましょう。

 

先の学年に進んだ時に、すぐに思い出すことがでるようになるので、
勉強がぐっと楽になりますよ。

 

この部分を教える先生方も、
ぜひ、理屈の部分もきちんと説明してあげるとよいと考えます。

 

生徒に、作図ができて遊べるというだけではなく、
「知的好奇心を満たすような仕掛けを」つくってほしいなと思います。

 

高校の図形にも発展させることのできる内容も多いですから。
図形は遊び心を満載に込めることができる分野ですね。

 


【試してみよう】
・垂線、垂直二等分線、角の二等分線の描き方をマスターしよう
・それぞれの作図をする理由、理屈をちょっと考えてみよう
・外心、内心を理解して、図のイメージを持ってみよう

 

 

亀きちのブログが、電子書籍に。いつでもどこでも数学を楽しく!第1巻・第2巻ともに発売中!

 

 

読者になって、リアルタイムでためになる記事を受け取りませんか?読者登録はこちらから  

ご質問・ご感想・ご要望等お気軽にお問い合わせください。

 また、「気になる」「もう一度読み返したい」記事には
↓↓「ブックマーク」もどしどしお願いします