今回は、前回の行った対偶を記述する練習
プラス、真偽（〇×クイズ）を行った後、
具体的な証明を２つ説明します。
証明は２種類。
１つ目は
中学で行ったような
倍数などの整数の性質などの証明。
その最初と最後に、対偶の知識を用います。
２つ目は
高校に入って初登場する証明法。
その名も「背理法」
亀きちは「逆転裁判証明法」と呼んでいます（勝手に）
ぜひ、ゲーム感覚で、
矛盾を追求する
数学的楽しさ・爽快感を味わってください。
緑色背景２本が親子のやり取りを楽しむフルバージョン
ピンク色背景が、教えることに特化した、解説バージョンです。
なお、長丁場の動画となりますので、
視聴速度を1.25倍～1.5倍にすると、
効率よく学習できるのではと思います。
ご意見等ございましたら、コメント欄からぜひお寄せください。
また、チャンネル登録、高評価をいただけますと幸いです。
この記事の最後には、
授業ノートも掲載しています。
では、内容解説に入っていきましょう。
まずは対偶を利用して真偽を確かめる問題です。
対偶とは、
仮定と結論の否定を取り、入れ替えたもの。
元の命題と、対偶の命題の真偽は一致します。
元の命題で、真偽が分かりにくい時は、
頭の片隅に、
「対偶をとればいい」という知識を持っておけば、
この手の真偽は、
思う以上にあっさりと求めることができます。
ぜひ、活用していきましょう。
そして、いよいよ出てくるのが、
証明文を書く問題です。
証明を書くと聞いただけで、
苦手アレルギーが出る人もいるかもしれません。
しかし、証明には、ある程度の文章の型があります。
その型を身に着けることにより、
証明文はぐっと書きやすくなります。
好きな人へ、お手紙を書く時も、
文章のひな型があれば、
書くのがぐっと楽になりますよね。
それと同じような感覚で、
相手に伝わるように、論理的に、
♡数学ラブレター♡を書く練習をしていきましょう。
まずは、対偶を用いた証明。
元の命題をダイレクトで証明することが難しい時、
先ほどの真偽を求めるときの問題と同様、
対偶をとってみます。
そうすると、
「これならいけそうかな？」という
証明文が見えるときがあります。
そうなると、
あとは中学で行った証明を思い出せばOK。
不安な場合は、
中２の教科書や参考書を手元に置いておくことをお勧めします。
中２がこの手の証明の一番の基本となるので、
本当に手も足も出ない場合は、
中２の教科書があると便利でしょう。
偶数や奇数の表し方
倍数の表し方、
余りの数の表し方など
ここで一度復習しておくことをおすすめします。
２つ目の証明法が「背理法」というもの
背理法とは、
元々の命題が証明しづらいとき、
元々の命題が成り立たないと仮定して、
矛盾を導き出すというもの。
矛盾が出てきたところで「異議あり！」
矛盾 ⇒ 元々の違うと仮定したのだから、
元の命題は真である
という流れです。
矛盾を導き出した瞬間に
「異議あり！」と叫びたくなるような爽快感。
まさに「逆転裁判証明法」ですｗｗ
今回の練習問題として挙がっているのは、
無理数であることの証明。
ぱっと見て、
無理数であることを証明することって難しいですよね。
だって無理数は定義が難しいですから…
しかし、逆言葉の有理数は定義がはっきりしています。
有理数の定義は「分数で表せる」ということ。
ですので、有理数になると一旦仮定し、
分数で表すことを考え、
そこから矛盾を導き出します。
今回は、無理数なはずなのに、
計算していくと有理数になるので、
そこが矛盾点となりますね。
さらに発展として、
√２が無理数であることの証明もあります。
この証明法も√２が有理数であると仮定して、
分数（既約分数（これ以上約分できない分数））で表現
⇒ 両辺を２乗
⇒ ｍもｎも偶数となる
⇒ 矛盾
という流れになります。
昔からある証明法ですし、
教科書にもずっと登場しています。
１度、ぜひ自分の手で書いてみて、
理解しようとがんばってみてください。
まずは、何となくの理解で大丈夫。
数学の美しい証明の流れを
感じてもらえたらと思います。
ちなみに現在では、
中学校の教科書の発展部分でも
紹介されている場合があります。
意欲のある中学生の方は見てみるのもおもしろいですね。
それでは、授業ノートです！
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