今回扱うのは、最短経路と重複組合せ。
組合せの分野の発展事項です。
難しいように思うかもしれませんが、
１度学習すれば、比較的思い出しやすい分野。
ただし、初見では戸惑う人も多く、
今回の重複組合せは
意味が分からないと思う人も出てくるかもしれません。
そんなあなたのために、
１度学習したら、忘れにくいよう、
導入部分をぐっと下げて、
イメージしやすい授業を心がけました。
イメージ⇒解法パターンへ当てはめられるよう、
１つずつ身に着けていきましょう。
緑色背景２本が親子のやり取りを楽しむフルバージョン
ピンク色背景が、教えることに特化した、解説バージョンです。
なお、長丁場の動画となりますので、
視聴速度を1.25倍～1.5倍にすると、
効率よく学習できるのではと思います。
ご意見等ございましたら、コメント欄からぜひお寄せください。
また、チャンネル登録、高評価をいただけますと幸いです。
この記事の最後には、
授業ノートも掲載しています。
では、内容解説に入っていきましょう！
まずは最短経路についての問題です。
小学校の学習塾などで
扱った記憶がある人もいるかもしれません。
ここでは、
それを組合せや階乗の計算を用いて
求めていきます。
最後に、小学生が行っている計算方法も紹介します。
動画や授業ノートなどで扱っているものですと、
最短で行くためには、
碁盤の目の道を、
右に行くか、上に行くかの
どちらかとなります。
そして、右に行くブロック数と上に行くブロック数は
決まっています。
順番はどうであれ、
右と上にそれぞれ決まった回数進めば、
自動的に目的地にたどり着けることになります。
そう考えると、
決まった数の→と↑の並び替えですので、
同じものを含む順列という知識が使えることになるのです。
こうやって仕組みがイメージできると、
式も立てやすくなりますね。
そしてちょっとだけ発展させた問題が
中継地点を通る場合の問題。
この問題は、その地点を通るとして、
どのエリアを通るのかを図で囲むことにより、
囲んだ部分だけのＡ→Ｃ→Ｂ （Ｃが中継地点の場合）のとき、
・Ａ→Ｃの最短経路の数を求める
・Ｃ→Ｂの最短経路の数を求める
・２つを掛け合わせる（積の法則）
で、全体の最短経路の数を求めることができます。
もし、イメージがわきにくい時は、
積の法則の部分を再度学習すると、
なぜかけ算をするのか、見えてくると思います。
さらには、先ほど書きました、
小学校のころからこの手の問題に触れてきた人にとっては、
たし算ができれば、問題を解くことができます。
考え方は、
それぞれの交差点での場合の数を
スタートから足していくというもの。
数字が若干大きくなることもあるかもしれませんが、
たし算の計算ミスさえなければ、
答えまでたどり着くことができます。
共通テストなどで出題されたら、
問題そのものは階乗で解くことになると思いますので、
計算のたしかめで使うなどの
利用法があるかもしれませんね。
また、各交差点での
場合の数を足していくという手法ですので、
経由地がある場合でも、経由地までの場合を求めて、
経由地の先はその数字から足し始める
通れない場所がある問題でしたら、
その部分を通ってやってくる場合は０ですので、
０のたし算をする。
文章で書くよりも、
おそらく動画をご覧いただく方が
イメージがつかみやすいでしょうから
ぜひ、授業動画を参考になさってみてください。
続いては重複組合せです。
この問題は、教科書でもチャートでも発展的内容で
取り扱われることの多い問題です。
しかし、１度しっかり理解をして、
イメージを持てるようになれば、
割とすっと思い出すことができると思います。
やはり、身近に絡んだシチュエーションで
出題されやすい問題ですので、
イメージも膨らませやすいと思います。
今回扱っている例題は、
３種類の果物があり、それらを重複を許して選ぶ、
選び方は何通りあるかというもの。
青果店で、
ダンボールにたくさん入った数種類の果物の図が
頭の中にイメージできれば考えやすいですね。
左から、それぞれの種類のダンボールの箱を並べ、
好みの数だけ取っていく。
ただし、合計個数だけは固定されている。
そうイメージすると、
・果物の入るスペース、
・左から入れる果物を決めておく
・果物と果物間には仕切りを入れる
こうルールを決めると、
場所と仕切りを設置すれば、〇〇│〇│○○のようになり、
これで選ぶ果物とその個数が確定します。
同じものを含む順列の考え方に
たどり着くことになります。
そして、組合せを使った公式、
さらには、
参考書などに書いてある
nHr の公式へたどり着くことになるのです。
ただ、公式を丸暗記ではなかなか使いにくいと思います。
やはり、状況や条件を図にかいて、
必要な情報と使う知識を整理して、
これまでの公式を活用していきましょう。
重複組合せの公式は、
さらに発展させると、整数解の個数の問題となります。
取り組んでみたいと思う、向上心にあふれる人は、
ぜひ、チャレンジしてみてください。
それでは、授業ノートです！
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