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数Ⅰ 2次関数 最大値と最小値(グラフが動く場合) ~グラフはカニ歩きで場合分け~

 ↓ あとでじっくり読むときに便利

さて、今回は2次関数前半戦最大の山場
最大値最小値を求める問題の、グラフが移動するバージョンです。

 

範囲が動く最大値や最小値でもなかなか手ごわいと感じた皆さんも多い中、
さらに、グラフが動いて最大値や最小値を考えるという問題も存在します。

(…ていうか、定番なんですけどね(;'∀') )

 

実際問題を解くとき、グラフを動かすという考えは非常に困難
PCソフトを持ち込むことができれば解決なんでしょうけど、そんなことは当然できませんし。。。


ただ、やっぱり考えやすくするコツが存在するんです!

そのコツと考え方について、今回は記載していきます。

 

 

 

グラフが動く場合のポイント

 

早速ですが、グラフが動く場合の場合分けのポイントは、
「グラフをカニ歩きさせる!」
です。

f:id:math-kame:20190706092730p:plain

 

場合分けのみを考えるとき、グラフの上下の動きはまったく関係ありません


横にずらしていって、
最大値(or最小値)をとる場所が変わるところをチェックすればいいんです。

 

上下に動かして、グラフがわけ分からなくなる…
これがこの問題で混乱をきたしてしまう最大の原因となります。

 

それでは、実際に例から考えてみることにしましょうか。

 

 

カニ歩き場合分けの例

 

f:id:math-kame:20190706092745p:plain

頂点の座標を求めるために平方完成します。
すると、頂点の座標に文字が入った形になります。
なんと、y座標にも!

 

ちなみにですが、y座標も考慮したグラフを書いてみると、
下のような感じになります。

f:id:math-kame:20190706092758p:plain
このような状態で場合分けを考えるというのは、なかなか困難…


でも、上下の動きを無視して、カニ歩きの考え方があると、
下の図のような感じに。。。

f:id:math-kame:20190706092813p:plain
こう見ると、最小値をとるxの値の変化に気づきやすくなるのではないでしょうか。

 

ですので、実際に問題を解くときにも、
グラフをカニ歩きさせて考える!
これのみで場合分けは完了することになります。

 

それでは、この問題の解答を仕上げましょう。

f:id:math-kame:20190706092827p:plain
いかがですか?
思ったよりもすっきりとできた!
という人も多いのではないかと思います。


あとは、最大値と最小値をミックスさせた問題もありますが、
その考え方は以前の記事を参考にしてみてください。

math-kame.hatenablog.com

 

 

最後に

数学の問題では特に当てはまるのですが、
考えるときには、見るポイントをできるだけ少なくすることがコツ。
将来的には、ベクトルにこのような考え方が応用されていきます。

 

多方面から考えるのを、なるべく1方面からのみ考える。
そのコツを早い段階で身に着けられるといいですね。

 

教える側としても、カニ歩きの概念を伝えることで、
生徒の理解度は一変すると思います。

 

実際のグラフは、PCソフトなどで画面で動かして理解してもらうとして、
問題そのものを解けるようになるためには、
このコツを教えることで、ぐっと思考が深まることと思います。

 

2次関数前半戦の最大の山場でした。
ここまでを完璧に理解できれば、高校数学の入り口も突破ですね!

 

 

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