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数Ⅰ 2次関数 最大値と最小値(定義域が動く場合) ~鉛筆2本でコツコツと、最後で一気に融合~

 ↓ あとでじっくり読むときに便利

今回は、定義域が動く時の最大値と最小値の求め方です。
このあたりから、イメージすることが困難になってくる人もちらほら…

 

難しい!と感じる人も多いところではありますが、
基本的な考え方はいたってシンプル。

あとは、組み合わせ方と見極めるポイントを理解することです。

それでは早速、ポイントから見ていくことにしましょう。

 

押さえておくべきポイント

最初に押さえておく2つのポイントです。
① 最大値・最小値…値域(y座標)の最大値・最小値
② 2本の範囲の縦棒を動かしていくイメージ

②については、縦棒を動かしていきますが、
・その縦棒の範囲の中しか見えない!(ほかの部分は見る必要なし)
・最大値(or最小値)をとるxの値が変わる場所をチェックする


以上がポイントになります。

 

最大値を求める問題なら、
最大値をとる場所(通常1点)をじっと見つめる
→棒をずらす
→最大値をとる場所が変わったところで場合分け

ですね。

では、実際に例を見ていくことにしましょう。

 

レベル1 最大値・最小値のどちらかを求める問題

まずは、最大値or最小値のどちらかを求めていく基本的な考えからいきましょう

 

f:id:math-kame:20190629162632p:plain

最大値や最小値の考え方→グラフをかく でしたね。
まずは、平方完成→グラフ をかきます。

まずは流れを追ってみてください。

 

xの範囲にaが入っているので、範囲の終わりが見えないことになります…(´;ω;`)


一番近いx=0から少しずつx=aを右にずらして、最大値の変化点を見つけていくことになります。

 

初期設定はx=0のときに最大値2
…では、最大値2をとるxの値が0ではなくなるところは?

f:id:math-kame:20190629163359p:plain

 

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ずいずい…と右にずらしていくと、a=2 ここで最大値をとるxの値が変化します。
ちなみに、a=2のときは、最大値をとるxの値が2か所存在することに。

なので、そのパターンも考えると、合計3つのパターンで場合分けすることになります。

 

 

レベル2 最大値・最小値の両方を求める問題

さて、今度は大変です。
両方を求める…
言葉ではあっさり言っていますが、簡単に言うなってツッコミをいれたくなりますね(笑)

 

しかし、最初に書きましたが、
「最大値・最小値を別々に考える」のがポイントです。
その後、それらを融合していきます。
では、例を追ってみましょう。

 

f:id:math-kame:20190629163758p:plain

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最大値はすでに先ほどの例題で求めていますので、
ここでは最小値のみを求めています。

考え方は先ほどの例1と同じですね。

 

では、最大値と最小値がそれぞれ求まったところで、状況の確認です。

 

f:id:math-kame:20190629163925p:plain

それぞれでは最大値と最小値を求めることができていますが、
それらを一気に融合させます。
それが、以下の考え方です。

 

f:id:math-kame:20190629163936p:plain

aだけで数直線を引いて、場合分けを見極めていきます。


実は4種類の場合分けが必要ということになりますね。
あとはⅠ~Ⅳまででそれぞれの解答をかけば完了になります。

 

…道のり、長かったですね。。。

お疲れさまでしたー!

 

最後に

範囲が動く場合の最大最小は、棒(鉛筆)を動かしながら、
最大値や最小値が変化するポイントを見つけていくことになります。

 

一気にやろうとすると、頭がパニックを起こしてしまいますので、
じっくりと1つずつこなしていきましょう。

 

教える方としても、まずはゴール地点を示し、
そこにたどり着くまでに何をするのか
そのプロセスをはっきりと示してあげる必要があろうかと思います。

 

初めて見る生徒にとっては、かなりハードルが上がってきます。
それを踏まえた上で、PCソフトなどで視覚的に頭に残るような授業展開お勧めします。

 

また、当日夜などの復習は必須です。
数字を変えただけでもいいので、必ず再度考えるよう促すと知識の定着がはかれます。

 

教える方もしんどい部分でしょうが、
綿密なスケジューリングと準備で乗り切りましょう。

 

 

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