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数Ⅰ 2次関数 2次方程式 解の存在範囲 探偵的解法

 ↓ あとでじっくり読むときに便利

いよいよ2次関数大詰め
解の分離(2次方程式の解の存在範囲)の問題です。

 

センター試験
これから行われる共通テストでも頻出の問題。

 

というのも、
この分野は、これまでの2次関数の知識を
一気に試すことができるからです。

 

教える方も気合が入りますよね。

 

また、最難関分野というだけあって、
模試などの正答率も
かなり低くなってしまう辛いところでもあります。

 

ですので、教えるときは、
楽しく、イメージしやすいフレーズとノリで
進めたいところです。

 

もちろん、
幹となる部分はしっかりと押さえた上で。

 

亀きち流に教えるとすると、
この分野のタイトルは
「グラフ封じ込め探偵 3つのポイント」

 

グラフが固定できるための条件を探し、
条件の中での解をそれを求めて、
最後に、それぞれの解で連立不等式に持って行くのが定石。

 

そのためにも、
グラフを固定できる条件を探せるかどうか
が、ポイントとなります。

 

まとめの部分を思い出しやすくなるように
インパクトをおいた授業をしてみましょう。

 

生徒の皆さんは、
自分が、最大の敵を追い詰める探偵になったつもりで、
敵の身動きを封じ込める条件をイメージしながら
読み進めてみてください。

 

 

 

まとめ前の導入例

 

前回は連立不等式を学習し、
ラスボス前の「最後の武器」を手に入れました。

 

では、いよいよ最後の敵に挑んでいくことにしましょう。

 

最後の敵は「解の存在範囲」と呼ばれるもの。
2次方程式の解が存在する範囲を、
2次関数を利用しながら求めていくというものです。

 

大学入試センター試験でも、
これからの共通テストでも頻出の問題。

 

なぜなら、
これまで学習した2次関数の
総合的な力を、段階的に試すことができるからです。

 

最後の敵は、
実に軟体動物のように動きや姿がとらえにくい。
でも、その動きを封じて、見えるようにしてしまえば
攻略の糸口が見えてきます。

 

その動きを封じるための最大の見極めポイントと、
その手立てを3つ紹介します。

 

相手の動きを封じ込め、
一気に攻略していきましょう。

 

もし、分からないところが出てきた場合は、
その都度、該当場所に戻りながら
じっくり取り組んでいきましょう。

 

聞きたいところや問い合わせは、
コメントや問い合わせ欄から
遠慮なく聞いてくださいね。

 

 

問題を解く最大ポイント「封じ込め」

 

では早速、例題を見てみることにしてみましょう

f:id:math-kame:20200702211943j:plain


この条件を満たすために、
どのようなことが必要となってくるのか

 

まずは、思考の過程を追ってみましょうか。

① このまま方程式だけを見ていても手掛かりが見つからない
② そうか、方程式と関数は恋人同士の関係だった
③ じゃあ、この条件を満たすようなグラフをかいてみよう

 

というわけで、
まずグラフを簡単でいいので、
かくことからしてみましょう。

 

f:id:math-kame:20200702212012j:plain

2次方程式をグラフ化したイメージ



グラフのイメージをかくことはできましたか?

 

あとは、上の図のようなグラフになるため
グラフが逃げ出さないため、
動きを封じ込める条件を付けていきます。

 

それでは、いよいよ攻略です!
攻略法をまとめます。

 

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2次方程式 解の存在範囲のまとめ

ポイントは、
このようなグラフに固定できるための条件を考えること

 

逆に言うと、
どんな条件があれば、そのようなグラフになってしまうのか。

 

自分の中で固定できる条件を考えてみましょう。

 

もし、その条件が浮かんでこない…
ということになれば、
その手掛かり(ヒント)として、
その下に書いてある3つが、条件となります。
(多くてもこの3つ)

 

ただし、先ほど書いたように
グラフを固定できればそれでOKですので、
条件を必ず3つつけなくてもいいのです。

 

問題によっては、
1つでうまくいくこともあります。

 

このあたりは練習を重ねて、
どの条件で封じ込めることができるのか、
自分の考えで封じ込めることができているのか、

最初は友達や先生に、
ゲーム感覚で抜け道を探しててもらい、
なければOKというようなやり取りを
楽しみながら取り組んでみてください。

 

慣れてくれば、
自分の中で客観的に見つけれられる訓練をしましょう。

 

最大数で、ポイントは3つになります。
ⅰ 判別式Dの符号
ⅱ 軸の位置
ⅲ 境界のy座標の符号

 

丸暗記でも構いませんが、
問題を繰り返し解いてないと、忘れることもありますので、

 

「グラフを封じ込めるための条件」


ここから考え、
その手法としてこの3つに辿り着くようにしてみましょう。

 

では、先ほどの例題の解答に入りましょう

 

f:id:math-kame:20200702212028j:plain


グラフをイメージして、
そのグラフを固定するためには何が必要か、
探偵さんの推理が始まります。

 

忘れてしまったときは3つの手掛かり。
ⅰ 判別式
ⅱ 軸
ⅲ 境界

 

それぞれをかいているのが、
今回の解答となります。

 

判別式の復習はこちらから


 ⅲ の境界については、
答えを1つの形としてかいておくことをおすすめします
なぜなら、その後でまとめるときに、考えやすいからです。

 

ⅰ~ⅲで出てきたそれぞれの答え(①・②・⑤)を数直線にかき、
連立不等式の要領で最後の答えを導き出します。

 

最後の最後に、
前回行った連立不等式が登場するんですね。

 

最後に答えを導き出すための、究極の武器です。

 

連立不等式のポイントは
段違いで勘違いを防ぐ でした。

 

連立不等式の復習はこちらから


 ①②⑤は、
それぞれ段を違えてかくようにしましょう。

 

そして、共通の部分が求める解ということになります。

 

 

まとめ グラフを封じ込める探偵に!

 

グラフを封じ込めるには、
どのような条件がいるのか、
探偵気分で条件を探ってみてくださいね。

 

最大でも今回のような3つ
最も少ないときには、
1つでも解をグラフを張り付けることが可能です。

 

類題をたくさん解いて、
そのようなパターンを見つけ出してみてくださいね。

 

この記事にも後日追記します。

 


2次関数の単元内容の説明は以上になります。

 

大学入試でも頻出の単元。
応用範囲も実に広く、
高校数学の知識や能力を試す上では、
絶好の分野です。

 

もし、2次関数の中で取り上げてほしい問題、
うまくいかなくて、教え方を聞いてみたいようなことがあれば
問い合わせや公式ライン、
Twitterなどからどしどしお寄せください。

 

本日も、ご覧いただきありがとうございました。

 

 

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